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Étude des surfaces qui admettent tous les plans de symétrie d'un polyèdre régulier

1887; Société Mathématique de France; Volume: 4; Linguagem: Francês

10.24033/asens.297

1873-2151

Édouard. Goursat,

Advanced Numerical Analysis Techniques

DEUXIÈME PARTIE.1. Je me propose, dans la seconde Partie de ce travail, de trouver .desformules générales pour représenter les surfaces minima qui ont la symétrie d'un polyèdre régulier.On est conduit ainsi à une applica-• tion intéressante des belles recherches d'Algèbre de M. in(m:î où interviennent les polyèdres réguliers.11 est nécessaire pour cela de rappeler les principes de la représenta lion sphérique des surfaces elles formules connues pour la détermination des surfaces minima.Considérons un système de trois axes rectangulaires Qoc, Oy, Oz et une sphère S de rayon égal à l'unité ayant pour centre l'origine.Soient ^ une surface non développable, M un point de cette surface, MN la normale à la surface en ce point ou plutôt une direction déterminée sur cette normale.La parallèle menée par l'origine à la direction MN rencontre la sphère de rayon égal à l'unité en un point bien déterminé m, que l'on fait correspondre 1 au point M de la surface S. A chaque courbe tracée sur S correspond ainsi une certaine courbe sur S, courbe qui est dite l'image sphérique de la première.Pour représenter la position d'un points sur la sphère, nous emploierons le système suivant de coordonnées, Soit m' Çfig.3) la projection stéréographique du point m sur le Ann. de l'Éc, Normale.3*' Série.Tome IV.-AOUT 1887.3r 2/1.2 ÉD.COURSAT.plan des xy, le point de vue étant le point de coordonnées ^=0, }''=0, ^==1.Désignons par ^ et"/] les coordonnées rectangulaires du point m', et posonsNous prendrons pour coordonnées du point m de la sphère les quantités imaginaires conjuguées s et SQ; ce point m de la sphère figure Fiff.3. ainsi la quantité imaginaire s. A. deux quantités conjuguées correspondent deux points symétriques par rapport au plan âesxz; aux quantités imaginaires^ et •--correspondent deux points diamétralement ^'0 opposés, etc. Soient a, ^ y les coordonnées rectangulaires de m.On a tan g ~ == om^ ysso, .Si el, par suite, sin0=: 2 \/SSo > .ç.Ço cos9===.