Existence of periodic solutions of the equations of incompressible micropolar fluid flow
1971; Elsevier BV; Volume: 9; Issue: 12 Linguagem: Inglês
10.1016/0020-7225(71)90078-4
ISSN1879-2197
Autores Tópico(s)Fluid Dynamics and Turbulent Flows
ResumoThe equations of incompressible micropolar fluid flow are a coupled system of vector differential equations involving the two basic vectors, viz. the velocity q̄ and the microrotation v̄ of the fluid elements. Let D = D (t) be a bounded region in space, and let a flow velocity and a microrotation be prescribed at each point of the boundary of D(t). Assume that D(t) as well as the assigned velocity and microrotation vectors depend periodically on the time t and that the condition (2μ+k)j−4a ⩽ 0 is satisfied (equation (25) in the text). Further assumptions are that (i) to every continuous initial distribution of the flow fields over D, there corresponds a solution of the field equations for all time t ⩾ 0 satisfying the prescribed boundary conditions; (ii) there is one solution for which the Reynolds numbers Re, Rm satisfy the condition Re2 + Rm2 < 80 and this solution is equicontinuous in x̄ = (x,y,z) for all t. Then there exists a unique, stable, periodic solution of the micropolar flow equations in D(t) taking the prescribed values on the boundary. The proof of the theorem rests on a formula describing the rate of decay of the kinetic energy of the difference of two micropolar flows in the domain subject to the same boundary conditions. Les équations d'un liquide micropolaire incompressible forment un système couplé d'équations différentielles vectorielles comprenant les deux vecteurs de base, c'est à dire la vitesse q̄ et la microrotation v̄ des éléments liquides. Soit D = D(t) un domaine borné dans l'espace, et supposons données une vitesse de l'écoulement et une microrotation en chaque point de la limite de D(t). Supposons que D(t), de même que la vitesse et la microrotation données soient des fonctions périodiques du temps t et que la condition (2μ + k)j−4a ⩽ 0 soit satisfaite (équation (25) dans le texte). D'autres hypothèses sont: (i) qu'à toute distribution initiale continue des champs d'écoulement sur D, il corresponde une solution des équations de champ pour tout temps t ⩾ 0, satisfaisant aux conditions données aux limites; (ii) qu'il y ait une solution pour laquelle les nombres de Reynolds Re, Rm satisfont la condition Re2 + Rm2 < 80 et que cette solution soit équicontinue dans x̄ = (x,y,z) pour tout t. Alors il existe une solution unique, stable et périodique des équations d'écoulement micropolaire dans D(t), prenant les valeurs prescrites à la limite. La démonstration du théorème s'appuie sur une formule décrivant le taux de décroissance de l'énergie cinétique de la différence de deux écoulements micropolaires dans le domaine soumix aux mêmes conditions aux limites. Die Gleichungen inkompressibler, mikropolarer Flüssigkeitsströmung sind ein gekoppeltes System vektorieller Differentialgleichungen, die zwei Grundvektoren einschliessen, das sind die Geschwindigkeit q̄ und die Mikrorotation v̄ der Flüssigkeitselemente. Es soll D = D(t) ein begrenzter Bereich im Raum sein und eine Strömungsgeschwindigkeit und eine Mikrorotation sollen an jedem Punkt der Grenze von D(t) vorgeschrieben sein. Es wird angenommen, dass sowohl D(t) als auch die zugeordneten Geschwindigkeits- und Mikrorotationsvektoren periodisch von der Zeit t abhängen und dass die Bedingung (2μ + k)j−4a ⩽ 0 befriedigt ist (Gleichung (25) im Text). Weitere Annahmen sind dass (i) jeder kontinuierlichen Anfangsverteilung der Strömungsfelder über D eine Lösung der Feldgleichungen für die ganze Zeit t ⩾ 0 entspricht, die die vorgeschriebenen Grenzbedingungen befriedigt; (ii) dass es eine Lösung gibt für welche die Reynolds-Zahlen Re, Rm die Bedingung Re2 + Rm2 < 80 befriedigen und diese Lösung gleich-kontinuierlich in x̄ = (x,y,z) für alle t ist. Es existiert dann eine einzigartige, stetige, periodische Lösung der mikropolaren Strömungsgleichungen in D(t), die vorgeschriebenen Werte an der Grenze nehmend. Der Beweis des Theorems beruht auf einer Formel, die die Rate des Verfalles der kinetischen Energie der Differenz zweier mikropolarer Strömungen in dem Bereich beschreibt, die den selben Grenzbedingungen unterliegen. Le equazioni di unflusso fluido micropolare incomprimibile sono un sistema accoppiato di equazioni differenziali dei vettori che interessano i due vettori fondamentali e cioè la velocità q̄ e la microrotazione v̄ degli elementi fluidi. Supponiamo che D = D(t) sia un regione limitata nello spazio e che si prescrivano una velocità di flusso e una microrotazione a ciascun punto del limite di D(t). Presumiamo che i vettori D(t) al pari de quelli della velocità prescritta e dell microrotazione dipendano periodicamente dal tempo t e che si soddisfi la condizione (2μ + k)j−4a ⩽ 0 (eq. (25) nel testo). Si presuma anche che: (1) ad ogni distribuzione iniziale continua dei campi di flusso su D corrisponde una soluzione delle equazioni di campo per tutto il tempo t ⩾ 0 che soddisfa le condizioni limite prescritte; (ii) c'è una soluzione per cui i numeri di Reynolds Re e Rm soddisfano la condizione Re2 + Rm2 < 80 e questa soluzione e equicontinua in x̄ = (x,y,z) per tutto T. Esiste allora una soluzione periodica, stabile e unica delle equazioni di flusso micropolare in D(t) prendendo i valori prescritti sul limite. La prova del teorema sta in una formula che descrive il ritmo di decadimento della energia cinetica della differenza di due flussi micropoiari nel campo sottoposto alle stesse condizioni limite. Уpaвнeния пoтoкa нecжимaeмoй микpoпoляpнoй жидкocти cocтaвляют cвязaннaя cиcтeмa вeктopныч диффepeнциaльныч vpaвнeний, включaющиe в ceбe двa ocнoвныe вeктopa, т. e. cкopocть движeния q̄ и микpoвpaщeниe v̄ дaнныч элeмeнтoв жидкocти. Пucть D = D(t) быть oгpaничeннoй oблacтью в пpocтpaнcтвe, зaдaны cкopocть пoтoкa и микpoвpaщeниe в кaждoй тoчкe гpaницы D(t). Дoпucтим, чтo D(t) зaвиcит oт вpeмeни t пepиoдичecки, a тaкжe зaдaнныe вeктopы cкopocти и микpoвpaщeния. Bыпoлнeнo ucлoвиe (2μ + k)j−4a ≤ 0 (cм. upaвнeниe (25) в тeкcтe). Дpuгиe дoпuщeния: (i) кaждoe нeпpepывнoe нaчaльнoe pacпpeдeлeниe пoлeй пoтoкa пo D имeeт cooтвeтcтвuющee peшeниe upaвнeний пoлeй для вceгo вpeмeни t ≥ 0, uдoвлeтвopящeй зaдaнным гpaничным ucлoвиям, (ii) имeeтcя oднoe peшeниe, для кoтopoгo чиcлa Peйнoльдca Re, Rm uдoвлeтвopят ucлoвию Re2 + Rm2 < 80, и peшeниe ecть paвнoнeпpepывным внuтpи x̄ = (x,y,z) для вceч t. Иcпoльзuя зaдaнныe знaчeния нa гpaницe, cuщecтвueт eдинcтвeннoe, ucтoйчивoe, пepиoдичecкoe peшeниe upaвнeний микpoпoляpнoгo пoтoкa oтнocитeльнo D(t). Дoкaзaтeльcтвo тeopeмa ocнoвaнo нa фopмuлe cкopocти pacпaдa кинeтичecкoй энepгии paзницы двuч мнкpoпoляpныч пoтoкoв в oблacти пpи oдинaкoвыч гpaничныч ucлoвияч.
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