Portal de Periódicos da CAPES

Mémoire sur une classe particulière d'équations résolubles algébriquement.

1829; De Gruyter; Volume: 1829; Issue: 4 Linguagem: Francês

10.1515/crll.1829.4.131

1435-5345

Mathematical and Theoretical Analysis

8-jdbel, equations resoliibles alg^briquement.a Meraoire sur une classe particuliere d'equations resolubles algebriquement (Par Mr. N. H. Abel.)JU est vrai que les oquations algebriques ne sont pas resolubles genoralementj mais il y en a une classe particuliere de tous les degres dont la rosolution algebrique est possible.Teiles sont p. ex.les equations de la forme x n -1=0.La r solution de ces equations est fondoe sur certaines relations qui existent entre les racines.J'ai essaye a goneraliser cette remarque en supposant que deux racines d'une equation donnee soient tellement liees entre elles, qu'on puisse exprimer rationellement Fune par Tautre, et j'ai trouvo, qu'une teile Equation peut toujours ^tre r solue a Taide d'un certain nombre d'equations moins elevees.II y a meme des cas o Γόη peut resoudre alg^briquement l'equatien donnee eile meme.Cela arrive p. ex.toutes les fois que, l'equation donnee otant irreductible, son degre est un nombre premier.La m£me chose a lieu encere si toutes les racines d'une oquation peuvent 3tre exprimoes par χ, θχ, Θ 2 χ, θ*χ, .. .θ ηι χ, o θ η χ=ζχ, f)x otant une fonction rationnelle de x, et 2 cc, 3 x, f .. des fonctions de la m6me forme de θχ, prise deux fois, trois fois, etc. . . .x n l .L'equation τ-= 0, si n est un nombre premier, est dans ce ' CC ~~~ A cas; car en designant par χ une racine primitive pour le module Λ, on peut> comme on sait, exprimer les n -i racines par:x, x<*, x* 2 , x"\ x" n ~*9 o x* n ~l ss= x, c'est-a-dire en faisant x*=:0x, par:x, x, 3 x, 3 x, .... n ^2x, o ^sq^rx.La meme propriete convient a une certaine classe d'4fjuatio»n$ qu'offre la theorie des fonctions elliptiques.En g noral je suis parvenu demontrer le theoreme suivant: ,,Si les racines d'une equation d'un degre quelconque sont liees entre-elles de sorte, que toutes ces racines peuvent 4tre exprimees rationnelleinent au moyen de Fune d'elles, que nous designerons par x; si de plus, en de-Brought to you by | University of Iowa Libraries Authenticated Download Date | 6/13/15 5:38 PM 132 8.A bei, ^uations r&olubles eignant par 6x 9 θ^χ deux autres quelconques des racines en question, on a ϋθ,χ = θ,θχ: I'equation, dopt il s'agit sera toujours rosoluble algebriquement, De m&m% si F n suppose Feijuation irreductible et son degre exprime par »t «V V«, tVj • ** 2 • • • • • » ω y ou & 19 & 29 . . . .α ω sont des nombres premiers difforens, on pourra τέduire la rosolution de cette iquation 4 celle de v\ 4quations du degre a 1? de v a equations du degro « ?> de V 3 equations du degro % etc.* Apres 'avoir presente generalement cette theox;ie, je Fappliquerai au.t.foQCtions circulaires et elliptiques« .§. l, Nous allons d'abord consid rer le cas o Γόη suppose que deux rauines d'une equation irroductible *) soieat lioes tellement entre-elles, qu« June ^uisse etre exprimo rationriellemenl par Tautre.Soit 1. φχ = 0 μιΐθ equation du degre μ, et x' et χ les deux racinea qui sont lieos entre-elles par Tequation 2.x'= fl A , οίι Gx dosigne une fonction ratipnnelle de χ et de quantitis connues» La quantite x / etant une des racines de l'£quation f on aura φ(χΟ==ο t et ^n vertu de (2.) 3. φ (0x0 = o, -Je dis maintenant que cette equation aura encore lieu^ si au lieu <le x t on met une Autre racine quelconque ; de F^quation proposoe.On aura efiectivement le thooreme suivant **).