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Problème du mouvement d'une masse fluide incompressible de la forme ellipsoïdale les parties s'attirent suivant la loi de Newton

1908; Société Mathématique de France; Volume: 25; Linguagem: Francês

10.24033/asens.598

1873-2151

W. Stekloff,

Dynamics and Control of Mechanical Systems

Introduction.1. Le prr)l)lpîïic a c(,c [)()s^ [)ar Dil'icis.l^ten î<S(io.Si!p|)osîuê(.(|ise l^.s roordoinwes .'r,y, ^ (le cluHjiie point de la masse (luide soienl.îles i'oîiclions linéaires et Isorno^enes de leurs valeurs ini(i;iles .r,,,;y,,, ^,,, r.orrï^siïoîKlîuit ail moment initial / --o, il a déduit les équations générales .Un an après, en i8(,)i, Riemann a repris le problème dans son Mémoire connu : Ein Heitrag ^u den Viitcrsucimn^efi ùher (lie Sîe^'e^tifê inesfiussi^en gleicharli^ea Ellipsoïdes (Wer/oe, [(S^G, Leipzig, p. i()8).Il a employé une méthode difÏerente de celle de Dirichlet, en se servant des équations du mouvement, du liquide dans la forme d'Kuler, tandis que Dirichlet a pris pour le point de départ de ses recherches les équations de Lagran^e.Riemann décompose le mouvement du liquide en deux mouvements particuliers : i° en mouvement relatif par rapport aux axes mobiles ^, ïj, '(, qui se tournent autour du centre de Feliipsoïde, pris pour l'origine coînmune de coordonnées mobiles Ç, yj, '( et de coordonnées (ixes dans l'espace .z*,y, s, et 2° en mouvement, d'entraînement se réduisant au mouvement du triédre ç, T), 'C.En supposant ensuite que les coordonnées relatives ^, "/], Ç de chaque point du liquide soient des (onctions homogènes d linéaires de valeurs initiales .T(), Vo, z^ des coordonnées absolues .T, r, z du [)oint,Ç, •/], 'C, il obtient, d'une manière artificielle, les équations du mouvement d'une masse Iluide ellipsoïdale, qui permetteni de déterminer le mouvement intérieur du liquide ainsi que la loi, suivant laquelle les axes de reliipsoïde changent leur direction et leur grandeur.Hiemann a étudié ensuite, le cas où les demi-axes a, h, c de reliipsoïde restent constants pendant le mouvement; il a indiqué deux cas différents du mouvement de l'espèce considérée et il a énoncé, sans démonstration détaillée, la proposition que ces cas sont, les seuls possibles dans l'hypothèse faite sur a, h et c.Si nous citons encore, outre ces travaux fondamentaux, les recherches de Dedekind (Crelles Journ^ Bd.LV1II, j8Gi.);BH!OS(;!U, Ihid., M. LIX^ ainsi que celles de MM.Greenhill {Proceed. of Camh/\ pldios.Soc., t. .11,1et IV) et Basset ( Proced/. of l.orid.mafhem.Society, t.XV'II ) consacrées a Fétude plus détaillée de divers cas particuliers, nous épuisons, si je ne me trompe pas, presque tout le plus essentiel que nous savons, en ce moment, dans la question dont il s'agit.2. Je me permets, dans le Mémoire qui va suivre, de publier cer-N;OIiU':MK ÎH1 MOl!VI';MKVr D'IW, MA S SI"; l-'iUHDK SNCOMHU'.SSI IIS.E.'g-ï tains résultats de mes recherches sur ce sujet, qui me semblent nouveaux et non dénués d'intérêt.Dans le premier Chapitre.j'indique une méthode générale pour déduire les équations (In mouvement (l'une masse fluide incompressible conîeruse dans une îneinlïralK^ elli|)soïd;ile.l.^n y ajoiitani la eondihnn (ine la pression reste constante en ions les points de ceite membrane, on ohlient les équations (In mouvement d'un ellipsoïde Unide libre sons nne l'orme Ires commode pour retnde de diverses questions qui se rattachent au problème de Dirichlel et de niemann.En supposant, d'un autre côte, que la membrane se réduit a une cavité appartenant à un corps solide, on en déduit, les équations du mouvement, d'il n corps solide avant la cavité de la rorme ellipsoïdale, remplie par le liquide incompressible, ce qui nous conduit, a ian problème d'hydrodynamique dont, le, cas particulier fpour l'ellipsoïde de révolution) a été étudié par M. joukowsky en > -e ) (<' </) (</ -f>) est dill'érent de zéro.^n'2 W. STEKLOFF.Je retrouve,, sons celle supposition, le théorème de Riemann qui perd, cependant, son sens, lorsque o s'annule, ce qui a lieu toujours dans le cas de l'ellipsoïde de révolution.Après la discussion plus détaillée de lous les snouvements possibles, où l'ellipsoïde a trois axes inégaux se tourne, comme un corps solide, autour de son centre, je résous ensuite les questions suivantes : î° Trouver tous les cas possibles, où le mouvement de translation du.liquide se réduit à la rotation de l'ellipsoïde, comme s'il était un corps solide, autour d'un de ses axes principaux ;2° Trouver tous les mouvements possibles, où.l'ellipsoïde fluide ne change pas la direction de ses axes pendant le mouvement.Je termine mes recherches par quelques remarques sur certaines propriétés générales des équations difl'érentielles du problème.Quant au problème du mouvement (l'un corps solide ayant une cavité de la forme ellipsoïdale, remplie par un liquide incompressible, il fera robjet d'un .Mémoire particulier.