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Recherches sur les transcendantes de M. Painlevé et l'étude asymptotique des équations différentielles du second ordre (suite)

1914; Société Mathématique de France; Volume: 31; Linguagem: Francês

10.24033/asens.672

1873-2151

P. Boutroux,

Differential Equations and Numerical Methods

AUTRES FONCTIONS DU TYPE BIPÉRIODÏQUE.L'étude que nous venons de faire ( 1 ) en partant de la fonction elliptique p(X), nous pourrions facilement la recommencer en partant d'un autre type de fonction elliptique, par exemple d'une fonction à pôles simples telles que snXou de fonctions plus compliquées.Les méthodes à suivre, les résultats obtenus, différeraient peu de celles et de ceux que nous avons développés plus haut.Il n'y aurait donc qu'un médiocre intérêt à accroître en extension une théorie qui, pour l'instant, a surtout besoin de gagner en compréhension.Je me borne à signaler les types d'équations (asymptotes aux équations des fonctions elliptiques) qu'une théorie complète devra étudier.( 1 ) Les trois premières Parties de ee Mémoire ont paru dans le Tome XXX des Annales de l'École Normale.C'est aux pages de ee Tome que se réfèrent les renvois que nous aurons occasion d$ faire, 100 P. BOUTROUX.18. Fonctions asymptotes aux fonctions sn(X-Xo).Considérons les fonctions snX de module i qui vérifient l'équation différentielleEn ajoutant au second membre de cette équation certaines fonctions R, rationnelles ou algébriques en X, rationnelles en Y, Y', qui tendent vers zéro avec J X-1 1, nous pouvons former des équations différentielles dont les intégrales seront « asymptotes (^) » aux intégrales de l'équation (65) pour les grandes valeurs de [X|.[1 résultera de la cinquième Partie de notre travail qu'en effectuant au besoin une transformation homographique en Y, algébrique en X, de la forme (66) Yi=Y4-?(X,Y), X,=X++(X), où les fonctions y et ^ sont, par rapport à X, de degré négatif nous pouvons toujours ramener les fonctions B qui répondent à la question à des polynômes en Y, Y'.Ces polynômes doivent être du troisième degré et sont de la forme ^Y^^P+^Y+^+^iY+^Yr, où/^, ..., y 2 sont des fonctions rationnelles ou algébriques de X qui tendent vers zéro avec X" 1 .D'ailleurSy nous pouvons toujours choisir la transformation (66) de manière que deux des fonctions p^ et pŝ oient nulles ; nous aurons alors une équation de la forme fU Y (67) ^^^Y^-^Y+^YY'+^r+^Y+po.Les intégrales de cette équation sont asymptotes aux intégrai de ^équation (65), Plus précisément : i° Les « branches d'intégrales » Y(X) suivies sur un ensemble de ( 1 ) Voir Introduction, p. ^3, et i^ Parfcie, p. %95.RECHERCHES SUR LES TRANSCENDANTES DE M. PAINLEVÉ.ÏOI rayons convergeant vers l'infini sont rationaloïdes ( < ) en tous leurs points.Elles présentent deux familles à'infinis isolés, j3, au voisinage desquels elle sont développables sous la forme suivante : (68) • Y^=^-^+^-^^(X-i3)+^(X~(3) 2 ^[+ylog(X-P)](X-(3)^...; dans ce développement, le coefficient a est égal à i pour la première famille d''infinis^ à -i pour la seconde famille; b^ b^ b^ -y sont des fonctions rationnelles de degré négatif en [S; C est un paramètre arbitraire; les termes non écrits sont des puissances de (X -p) dont les coefficients sont des fonctions rationnelles de ?et des polynômes en [C+ylog(X-(3)].Le développement (68) s'étudie comme le développement (28) du paragraphe 9. En général, y étant différent de zéro, le point [3 est point transcendant directement critique pour les Y(X); comme d'ailleurs y tend vers zéro avec X" \ les « branches » Y(X) sont semiméromorphoïdes ( 2 ) lorsque |X| croît indéfiniment.2° Soit Xo un point de grand module où une intégrale Y(X) prend une valeur donnée Y] (la dérivée Y' ayant une valeur Y]').La branche de fonction inverse X(Y), suivie à partir des conditions initiales Y, r\ sur un ensemble de rayons convergents quelconque, se rapproche arbitrairement d'une intégrale elliptique lorsque [XJ devient arbitrairement grand.Il ne peut en être autrement que pour la classe exceptionnelle des intégrales tronquées.Les périodes en un point quelconque X^ (où Y prend une valeur arbitraire T]) se définissent comme il a été dit au paragraphe 7. Il y a avantage à considérer ces périodes aux infinis de la fonction et, plus précisément, aux infinis de même famille [pour lesquels le premier coefficient du développement (68) a une même valeur +1 ou -i] : en effet, les infinis d'une « branche d^intégrale » quelconque Y(X) sont( 1 ) Toir Introduction, p. %67.La non-existence de points d'indétermination pour les intégrales Y (X) résulte de l'étude asymptotiqne de ces fonctions ainsi que nous l'avons vu plus haut (2 e Partie, § 7 et 8).( 2 ) Foir ïntroduciion, p. 268.102 p. BOUTROUX.toujours distincts; ^période aux infinis ne peut donc s'annuler, à moins que l'on n'ait affaire à la branche d'intégrale pour laquelle le paramètre G du développement (68) est infini : or, cette branche se réduit à l'intégrale Y == oo.Considérant donc les infinis de première (ou de deuxième) famille d'une branche Y(X), nous définirons comme au paragraphe 9 les lignes d'infinis de la branche.Nous démontrerons que les paramètres ..., C^ C^, ... d'une même branche aux infinis ..., X^, X^, ... qui sont de plus en plus éloignés sur une ligne d^infînis, tendent vers une limite.Suivons, d'autre part, la branche Y(X) sur un rayon quelconque, indéfiniment prolongé, qui ne passe par aucun infini de Y(X).Sur ce rayon, le module IY^-Y^+^Y] est borné {cf.§ 10); l'expression elle-même peut être indéterminée si l'on s'éloigne dans une direction autre que celle d'une ligne périodique.RECHERCHES SUR LES TRANSCENDANTES DE M. PAINLEVÉ. o3points x où y est infini.Exceptionnellement, pour p. == i, À == i, elles sont partout méromorphes : ce sont alors les fonctions de M. Painlevé vérifiant l'équation différentielle (G) y==2y 3 -2.ry-+-ja.Ces fonctions [et les Y 2 ^) correspondantes] sont d'ordre 3, puisque les Y(X) présentent une infinité de pôles dont la densité est celle des pôles d'une fonction elliptique et que X == ^^; les Y 2 ^) présentent un réseau de quadrilatères curvilignes (où Y prend deux fois toute valeur donnée) dont les dimensions sont de l'ordre de grandeur de leur distance à l'origine élevée à la puissance -\ (cf.§ 8, p. 3ia).La définition des quadrilatères des périodes se fera pour l'équationcomme pour l'équation (B') du paragraphe 8 (voir § 9); les Y(X) ont dws.périodes commutables.Considérons, d'autre part, une équation (67) pour laquelle tous les infinis d'une famille, mais d'une famille seulement, sont des pôles.Telles sont, par exemple, les équations (72) Y^aY^ô-^, Y^aY 3 -^^.Les intégrales de ces équations ont deux périodes noncommutablesqw se comportent exactement comme les périodes des intégrales de l'équation (26) étudiée dans la deuxième Partie (voir fin du paragraphe 9, p. 3i7-3i8).Pour éviter la confusion que l'existence de deux familles de pôles différentes risque d'introduire dans l'étude des Y(X), il est commode /ySx.de considérer en place des Y(X) les fonctions H = ^ qui vérifient une équation différentielle du troisième ordre homogène en H et ses dérivées.Les familles de pôles deviennent pour les H(X) une famille de pôles et une famille de zéros.Ainsi les intégrales des équations rr/2 ^T-r 2 (73) HH^SHW+Ô-^, mv'^m'w^ -À X 104 P. BOUTROUX.qui correspondent à (72) sont, comme les intégrales de (B^), des fonctions partout holomorphes, sauf en leurs infinis.Nous reviendrons tout à l'heure sur les équations du troisième ordre homogènes en H, ..., ET. 19.Intégrales asymptotes à divers types de fonctions doublement périodiques.Comme nous avons opéré avec les équations Y" == 6 Y 2 ~-6, T' == aY^ -2 Y, nous pourrons opérer avec toute équation du second ordre dont les intégrales sont des fonctions doublement périodiques.Considérons, par exemple, l'équationY/2 ri (74) Y^-^+aY^ôP+c+l-Moyennant une transformation homographique (66), les équations rationnelles en Y, Y', algébriques en Xy asymptotes à (74)» se laisse" ront mettre sous la forme YY // ==(I+<7,)Y /2 +(a4-A)Y 4 +(&•4-^)Y 5î 4-(c +j?i)Y ^ (rf+^o) +p^+ ^T+ r^T+ r^T, *'AO Xo