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Semicanonical bases and preprojective algebras

2005; Société Mathématique de France; Volume: 38; Issue: 2 Linguagem: Francês

10.1016/j.ansens.2004.12.001

1873-2151

Christof Geiß, Bernard Leclerc, Jan Schröer,

Advanced Topics in Algebra

We study the multiplicative properties of the dual of Lusztig's semicanonical basis.The elements of this basis are naturally indexed by the irreducible components of Lusztig's nilpotent varieties, which can be interpreted as varieties of modules over preprojective algebras.We prove that the product of two dual semicanonical basis vectors ρ Z ′ and ρ Z ′′ is again a dual semicanonical basis vector provided the closure of the direct sum of the corresponding two irreducible components Z ′ and Z ′′ is again an irreducible component.It follows that the semicanonical basis and the canonical basis coincide if and only if we are in Dynkin type An with n ≤ 4. Finally, we provide a detailed study of the varieties of modules over the preprojective algebra of type A5.We show that in this case the multiplicative properties of the dual semicanonical basis are controlled by the Ringel form of a certain tubular algebra of type (6, 3, 2) and by the corresponding elliptic root system of type E(1,1) 8. R ÉSUM É. Nous étudions les propriétés multiplicatives de la base duale de la base semi-canonique de Lusztig.Les éléments de cette base sont naturellement paramétrés par les composantes irréductibles des variétés nilpotentes de Lusztig, qui peuvent être interprétées comme variétés de modules sur les algèbres préprojectives.Nous démontrons que le produit de deux vecteurs ρ Z ′ et ρ Z ′′ de la base semi-canonique duale est encore un vecteur de la base semi-canonique duale si la somme directe des composantes irréductibles Z ′ et Z ′′ est encore une composante irréductible.Il en résulte que les bases canonique et semi-canonique ne coïncident que pour le type de Dynkin An avec n ≤ 4. Finalement, nous étudions en détail les variétés de modules sur l'algèbre préprojective de type A5.Nous montrons que dans ce cas les propriétés multiplicatives de la base semi-canonique duale sont controllées par la forme de Ringel d'une algèbre tubulaire de type (6, 3, 2) et par le système de racines elliptique de type E(1,1) 8 qui lui est associé.