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Equations on the semidirect product of a finite semilattice by a $\mathcal {J}$-trivial monoid of height $k$

1995; EDP Sciences; Volume: 29; Issue: 3 Linguagem: Francês

10.1051/ita/1995290301571

1290-385X

F. Blanchet-Sadri,

Geometric and Algebraic Topology

Let Jfc dénote the kth level ofSimon s hierarchy of J-trivial monoids.The Ist level Ji is the Wl-variety offinite semilattices.In this paper, we give a complete séquence of équations for the product Ji * Jfc generated by ail semidirect products of the farm M * N with M € Ji and iV G Jfc. Resulîs of Almeida imply that this séquence of équations is complete for the product jj +1 or Ji •... * J\ (k + 1 fîmes) generated by ail semidirect products ofk + l finite semilattices and that Ji * Jfc is defined by a finite séquence of équations if and only if k = 1.The equality J x • Jfc = jj +1 implies that a conjecture ofPin concerning tree hiérarchies ofM.-varieties isfalse.Résumé.-Soit Jfc le niveau k de la hiérarchie de Simon des monoïdes J-triviaux.Le premier niveau Ji est la ^A-variété des monoïdes idempotents et commutatifs ou demi-treillis.Dans cet article, nous donnons une suite complète d'équations pour le produit Ji * Jfc engendré par les produits semidirects de la forme M * N avec M € Ji et N € Jfc.Des résultats d'Almeida entraînent que cette suite d'équations est aussi complète pour le produit J^ o« Ji * ... * Ji (k + 1 fois) engendré par les produits semidirects de k + 1 demi-treillis et que Ji • Jfc est défini par une suite finie d'équations si et seulement si k -1.L'égalité Ji^Jfc-Jj^" 1 " 1 entraîne qu'une conjecture de Pin concernant des hiérarchies d'arbres de Nl-variétés est fausse.