Portal de Periódicos da CAPES

Sur les fonctions thêta de deux variables et les surfaces Hyperelliptiques

1907; Société Mathématique de France; Volume: 24; Linguagem: Francês

10.24033/asens.576

1873-2151

E. Traynard,

Algebraic and Geometric Analysis

de l'É.N.S. » (http://www.elsevier.com/locate/ansens)implique l'accord avec les conditions générales d'utilisation (http://www.numdam.org/conditions).Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d'une infraction pénale.Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/'car cette fonction admet quatre périodes, cri qui est absurde ( 2 ).Au contraire, Z élant un polynôme en z du cmquième 011 du sixième ordre, P; Touie 13, î8^ p. r »5. ( ;l ) Luc, CiL^ p* 71.n8 ïî-TKAYN.UU).il pose F'' ( y. ~\-p ^ d:.F v ( ^ d -(3 î ^ /, --^^^ -^ -.^.....^^^^^^^^^^^^^^^ ^.., , y' ^tÊLi^ r'^t^jX ~ ^ ^ ~~ ^ ^ ^r"" ~//1 Les fonctions x^=.\{u.,u'\y ^ V(th a') ont alors quatre paires de périodes et cela n'a rien d'ahsdrde ( 1 ).Mais alors que la théorie des fonctions elliptiques faisaitdes propres rapides, celle des nouvelles fonctions, appelées par Jacohi /onrîions abéliennes, avançait bien lentement.En î8/iG, l'Aeadéînie (les Sciences de l'Institut de France, voulant diriger les recherches dans cette voie qu'elle reconnaissait diiïicile, proposa pour le Grand prix de Malhé" ïnatiques la question suivante :Perfectionner dans (fuelqw poini essentiel la ihéarw des fonciions abéliennes, ou.plus généralement def> tramfcendanles qui résulti'nl de ta consif le ration des intégrale}} de (juanlUén ul^ehrif/neff ( u ).l.e prix fut décerné en ï84<) à G. Rosenhain.Dans le M'énioire qu'il avait déposé ( 3 ), il donnait les expressions de certaines fonctions symétriques de .wet y, m particulier de xv et/r-hy» au moyen de quotients de séries entières analogues aux fonctions thêta d'une variable.Ainsi le problème de l'iuversiou des intégrales abélhmnes élait résolu par rintroduclion de nouvelles fonctions entières de deux variables qu'on a appelées aussi fondions ifiêta.Une autre solution était trouvée en méine temps et fout à (ait indé" p e n d a ni m e n t ( ) a r G ô p ( * 1 ( ri ).On (rouvi 4 dans les deux Mémoires les seize fonctions d'ordre un et la démonstration de certaines relations entre les carrés de ces (onctions, Les deux auteurs font remarquer la possibilité de Pexiension de cette théorie à plus de deux variables* ( i ) Lofi. cil., p. 77, ( î ) Compter rendus de VÂwd.dea Se., iH^ p< 767, P) Mé/n.des Sw. étr., t.ÏX, ï^i, p. 3(h (ît Cht.Klus., n" (tô.(^ Journ.de Crellc, l. 3^, 1847, (».277 ol Ost, Klas,, if (n.SIÎK LK-S FONCTIONS TIU^-TA DE 1)1-;ÏÎX VAHIAlîLKS.nn Cette extension peut se faire dans deux voies différentes.. On peut introduire les fonctions thêta de plusieurs variables ponr l'inversion des intégrales hyperellip(iques de ^enre supérieur a deux.Je ne m'en occuperai pas ici.On peu (.aussi les considérer pour la résolution du problème suivant :Heprésenter une jonction uniforme de p variables à 2? période}!par le (fiiotierit de deux fonction}!enlidw.Ce problème se présentait tout naturellement à. la suite du précédent; les (onctions uniformes /^y, ^; "-{-"y des deux variables u, fêtant des quotients de deux fonctions thêta, en était-il de môme pour toute fonction ^p (bis périodique de p variables?En îBGo, Riemann 1'a.fïirmait sans le démontrer.Le point capital était l'existence de relations entre les périodes d'une (onction ^p fois périodique, puisque les modules des fonctions tbèta ne sont pas indépendants» Weierstrass donna, des propositions qui conduisaient à la démonstration du théorème.MM.Picard et Poincaré la, firent effectivement (Comptes rendue, î8H3).On en a donné d'autres depuis, parmi lesquelles celles de MM.A.ppell et Painlevé dont je parle au Chapitre I; citons enfin une démonstration de M. Picard {Comptes rendus, LCXXIV), et une démonstration de M. Poincaré (Aala malhematiea, t.XXII).Les fonctions thêta ont fait rohjet d'un très grand nombre de travaux; on en trouvera une théorie très complète ainsi qu'une bibliographie très riche dans KHASEH, Lehrbuah dcr Thêtafanclionert.Une application (extrêmement importante des fonctions thêta de •deux variables est la.théorie des surfaces hypercdUptiques.Les coordonnées d'un point d'une surface hyperelliptiquc sont des fonctions quaxiruplement périodiques de deux paramètres.M. Picard ( { ) a étudié ces surfaces; il a montré no ta mme n tqu'el les ad mettent deux intégrales de différentielles totales de première espèce, lorsqu'elles sont représentables point par point sur le champ hyperelliptique, et que leur ( l ) Journ.do M'aifi,, îHH5, p. 'zHf ot iHK9, p ,3-^oir aussi la Théorie das fonctions al^'hriquiïs de diîi^c 'tîarlabif^, par PÎCÂÏU» et SiMAïrr, t.. Il, Chap.XIV. E. TRAYNAM).genre géométrique est égal à runi(é.M. llumbert ( 1 ) a donné une théorie fondée entièrementsurla considération des fonctions tliet;» ( 2 ).Ces recherches ont été faites en considérant les fondions relatives au Tableau de périodes ru'TT, o, a, ô, o, a m, b^ c.Mais, ainsi que je le montre dans le Chapitre 1, le théorème général sur la représentation des fonctions quadruplement périodiques de deux variables conduit à considérer des fonctions pour lesquelles la première période est divisée par un entier M. J'étudie dans ce travail ( 3 ) les conséquences de Introduction de l'entier M. Elles sont assex importantes pour avoir nécessité une revision de la théorie générale.,)e fais cette révision dans les trois premiers Chapitres.Le Chapitre 1 traite du nombre des fonctions thêta, de leur parité, de leurs zéros; je signale un cas tout nouveau à ce point de vue, et à d'autres aussi, celui ou l'ordre* des fonctions thêta est égal au produit d'où nombre M, pair par un nombre impair.Les Chapitres ,11 et III étudient les surfaces hyperelliptifjues représentables point par point dans le champ hyperelliplique ou bien a la façon de la surface de Kum.mer.Les résultats obtenus ne difÏerent pas essentiellement do ceux qui avaient été donnés par M. .liumherl,et la plupart du temps fai pu simplement les énoncer en renvoyant à son Mémoire pour leur démonstration* Les Chapitres suivants traitent des applications* Le Chapitre IV contient leg éléments d'une théorie générale des surfaces représentables comme la surface de Kummer^'danB le cas où M est égal à deux.Dans le Chapitre Y, J'ai établi l'équation de la surface de Kunfimer sous diverses formes qui devaient me servir dans la suite.Dans le Chapitre VI, j'étudie une surface hyperolliptique du hui-( 1 ) Jou.rn.de Malfi., iS<)3, p. 9,9.0) J'aurai souvent à renvoyer à ce M.érnoiro; j'm mbplé pour CÔH imvoin un ^m spécial : an H suivi du numéro du paragrfjipho.( 3 ) Une partie des résultais a été donnéy dans do» Notea aux Cwwi^ nmd^ î^/cacl.des Sc^ t.CXXXVIII, p. 3^; t.CXXXIK, p. 7^5 l.CXL, p, 2x8 ofc y'^ S1.1H L'ES FONC/nONS THÊTA DE DEUX VAIUABLES.8î tiéme degré représcMrtable point par point sur le cliamp hyperellip"" tique; je donne la classification complète des courbes tracées sur celle surface.Dans le Chapitre VII, j'étudie une surlace du quatrième degré a i4 |)oiiiits doubles, et je.montre que c'est un type défini dont je do n n e 1 es ça rac( ,é ri sti q u es géoniétri q u es.Le Chapitre VIII contient la même étude pour une surface du.quatrième degré à 3^ droites, et le Chapitre IX pour une surface du quat r ici n e d e g r e a < 5 p o i n t s don, 1: » 1 e s.Enfin, dans un Appendice, je donne dans deux Tableaux les demipériodes qui annulent les (onctions thêta dans le cas où M est pair; j'indique quelques formules dont j'ai fait usage dans le cours des Chapitres précédents, et je fais des applications nuniériques pour des surlaces i < r^ points doubles on a 3'À droites ayant tous leurs éléments remarquables réels.Pour les applications l'introduction de rentier M a une grande importance.Au point de vue des surfaces hyperelliptiques, on a une 1res grande richesse de combinaisons permettant de trouver des surfaces d'un de^ré donné; c'est un lait analogue qui se produit avec les fonctions singulières étudiées par M. llumbert, et je rappelle que c'est en se servant de ces (onctions qu'il a donné les premiers exemples de surlaces a î.*> points doubles ou a 'î2 droites ( 1 ).D'autres applications exigent également l'iniroduclion de M; je ne citerai que la suivante : dans son cours du Collège de France (x9o4-i9o^), M. llumbert a démontré que les coordonnées d'une tangente à deux quadriques sont (onctions hypereiliptiques de deux variables avec M ^ ^.On me permettra;, en terminant ce; travail, de'rem.ercierM. Humberfc et M. Painlevé auprès desquels j'ai trouvé (les encouragements et des conseils précieux et qui ont toujours apporté la plus grande bienveillance a diriger et à facililer mes recherches.( î ; CoinfH^ /rW/AV de l '..fend.d(^ Si:, ï.CXXIX, {».(MO; t.. CX XXÎI, p. 7^ -Dans une NoUï recïmic, M. Hemy m<mlro quo ICH Hurfacort d(* M. nimihort, ^oni des (î<»s pî<rl,i<îuJiers <îc (U'JÏe.sque j'élu.iÎKîIci ( CofUpUïS renduif dtf L'Âcad.das Se., t.CXLH, (;.768).Àim.Êc, .Nw'm^ (3), XXîV* -V^tWK ïyo^ 1; 82 E. THAYNAÎU).CHAPITRE 1. GÉNÉRA IJTÉS.( k (; la fonction analogue V^ On a, en outre, ^4-(pi(5< -a.i ^ ) ^ .•0l in.Ei» posant alors y y-i ., '.un x-.-./---^.r,v. -^,, on obtient les fonctions ((»,(X, Y), V,(X, Y^ et, les n-Iitliun.s«l>ï(X ^•,(•7:, Y; ,(X, Y), <r, (x -a/7; ^, Y -..-.^ ) -: ff"^.-<;<^( x, Yj,•' ^1 i-'l / 2(X, Y-t-y/7T):-:-