De la réduction des formes quadratiques ternaires positives et de son application aux irrationnelles du troisième degré
1880; Société Mathématique de France; Volume: 9; Linguagem: Francês
10.24033/asens.196
ISSN1873-2151
Autores Tópico(s)History and Theory of Mathematics
ResumoINTRODUCTION.Le but final du présent travail est de développer les recherches de M. Hermite relatives aux irrationnelles du, troisième degré et contenues dans ses Lettres à JacobL Ces Lettres ont été publiées dans le Journal de Crelle, t. 40, et dans les OEwres de JacoU, t. 2. Notre travail portera principalement sur la dernière partie de la deuxième Lettre.La théorie de M. Hermite exigeant la réduction de certaines formes ternaires, nous avons été conduit à exposer une méthode de réduction, et, bien que les Lettres a Jacobi renfermassent des méthodes de réduction, nous leur avons préféré, sur le conseil de M. Hermite, la méthode récemment donnée par M. Sell'mg dans le Journal de M. Resal.Nous avons été amené par la à disposer notre travail de la manière suivante.Après avoir rappelé les divers travaux relatifs à la théorie des formes quadratiques ternaires positives, nous exposons la mélhode de S. 4 ï-CHÂKVE.M. Selling; nous éludions spécialement les substitutions auxquelles conduit l'emploi de cette méthode dans la réduction continue d'une forme à coefficients variables et nous réduisons ces substitutions à deux.Nous exposons ensuite la théorie de M. Hermite sur les irrationnelles du troisième degré; de cette théorie ressort, pour les irrationnelles du troisième degré, cette propriété très remarquable de conduire à un algorithme périodique entièrement analogue à celui des fractions continues dans leur application aux irrationnelles du second degré.On applique ensuite cette théorie à divers exemples.On termine par quelques brèves considérations sur les unités complexes, dont on renvoie l'étude approfondie à un autre travail. I.DE LA RÉDUCTION DES FORMES QUADRATIQUES.1. J'appelle forme quadraticjue ternaire une fonction du second degré homogène a trois variables dont l'expression générale estdans laquelle les quantilés a» a\ a"', 6, //, y sont des nombres quelconques donnés'et ^,y, z trois variables arbitraires.Si la forme/reste toujours positive quelles que soient les valeurs attribuées à oc, y, z, nous dirons que la forme/est une forme positive.Si la forme/ était constamment négative quelles que fussent les variables oe, y, Zy la forme/serait dite négative; l'étude des formes négatives se ramène évidemment à celle des formes positives en changeant le signe des six coefficients a, a! ^ a 11 ', b, 6', // / .Les formes positives ou négatives sont encore appelées des/ormes définies; les formes qui prennent des valeurs tantôt positives et tantôt négatives lorsque x, y, z parcourent la série des valeurs de -co à -i~oo sont appelées des/ormes indéfinies.RÉDUCTION DES FORMES QUADRATIQUES TERNAIRES POSITIVES, ETC. S. 5Dans ce qui suit, on ne s'occupera que des formes définies.Ces formes, égalées à ± î, représentent en coordonnées rectilignesdes ellipsoïdes.Un changement convenable de variables permettrait donc de ramener une forme positive donnée/à la forme A^By^CÇ 2 , où A, B, G seraient trois constantes positives et ^, ^3, Ç trois variables arbitraires.Nous supposerons que les quantités a, a\ a", è, b\ b" sont des nombres quelconques entiers ou fractionnaires, rationnels ou irrationnels; mais nous n'attribuerons à a?, y, z que des valeurs entières.Nous dirons que les nombres qui peuvent être représentés par la forme/en attribuant à oc, y, z des valeurs entières appartiennent à la forme/.2. Soient trois variables X, Y, Z liées à x,y, z par les relalions suivantes :.y^aX+a'Y 4-a'X y^pX^Y+^Z, .s":yX4-y/ Y4-/ 7 Z, RÉDUCTION DES FORMES QUADRATIQUES TERNAIRES POSITIVES, ETC.S.q classe, il n'est pas démontré qu'une seule forme les vérifie, et la réduite manque ainsi de son caractère d'être unique dans chaque classe.9. Gauss, à propos du travail de Seeber, fit [Journal de Crelle, t. 20) sur la représentation géométrique des formes ternaires quelques remarques qui ont conduit Lejeune-Dirichlet à faire la théorie de la réduction des formes ternaires à l'aide de considérations purement géométriques.Lejeune-Dirichlet a ainsi substitué au long exposé de Seeber une démonstration très simple.M. Selling ( 4) a dernièrement repris ce sujet.Dans la première Partie d'un Mémoire publié dans le Journal de M. BorcJiardi et dans le Journal de M. lîesal, il a cherché à traduire algébriquement le procédé géométrique de Dirichlet, et il est .parvenuà une excellente méthode de réduction que nous allons exposer, II.MÉTHODE DE RÉDUCTION DE M. SELLING.10.A cause de la symétrie des calculs, nous remplacerons les coefficients a, a\ (ï\ b, //, b" par d'autres coefficients, el nous prendrons avec M. Selling, pour type d'une forme quadratique ternaire, la forme suivante : f^.ax^ -î-by 1 --!--cz^ -4-^gfz -\-^ à zx + 2 kyy\ Aux coefficients g, h, k nous adjoindrons trois autres coefficients désignés par A m, n, et aux coefficients a, 6, c nous adjoindrons un quatrième coefficient désigné par d.Les nouveaux coefficients seront liés aux coefficients primitifs par les
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