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Déformations équisingulières des germes de courbes gauches réduites

1980; Volume: 1; Linguagem: Francês

10.24033/msmf.273

2275-3230

J. Briancon, A. Galligo, M. Granger,

Historical and Literary Studies

Dans [ Z^ ] , O.ZARISKI démontre, grâce à la théorie de la saturation d'une algèbre analytique locale, que deux courbes planes irréductibles sont (aïéquivalentes si et seulement si elles ont les mêmes paires caractéristiques de Puiseux ; puis dans [ Z^ ] il démontre que deux courbes planes sont (a)-équivalentes par TT si et seulement si pour tout i, ï. et Tr(ir.)ont les mêmes paires de Puiseux et pour tout (i,j), les multiplicités d'intersection (^;^) et (TT(^); 7T(Ïj)) sont égales.D'après des résultats classiques ( [Br] , [ Z^ ] ) il en résulte alors que deux germes de courbes planes C et D sont (a)-équivalentes si et seulement si elles ont même type topologique : c'est-à-dire s'il existe deux voisinages ouverts de 0 1'origine U et V dans G et un homéomorphisme h de U sur V envoyant C sur D. Une déformation à base lisse de germes de courbe plane est dite équisingulière si deux fibres quelconques de ta déformation sont (a)-équivalenteîou topologiquement équivalentes.Dans L Z, ] , 0. ZRRJSKI démontre le critère discriminant : une déformation est équisingulière si et seulement si i1 existe une projection "permise" (voir [^7] ) P 0111 " laquelle 1e discriminant de la projection est équimultiple.Dans [_ Z^ ] il.démontre aussi qu'une déformation est équisingulière si et seulement si elle vérifie les conditions (a) et (b) de Whitney, voir aussi B. Teissier [^ T, ] .Dans [Le^| et [L-R] Le DIÎM& TKW et C.P. RAnBA/w^ montrent par des arguments topologiques qu'une déformation de courbe plane dont la fibre a un nombre de Milnor constant est à type topologique constant, donc équisingulière.Il faut attendre [ T^ ] pour que B. Tt^IssiEH donne une démonstration algébrique de ce résultat.Dans CT^] B. TEiSSiep démontre l'équivalence de 1'équisingularité et d'une condition de résolution simultanée des singularités.J. BRIANÇON, A. GALLIGO, M. GRANGER (4') dim C^(X) = 2 et^dimi^X) = 3 : où C^(X) est le cône ensemble des limites en 0 des vecteurs sécants à X.Notons aussi <S(X,,) = dim,, (<îy A 9 ) (où (Py est l'algèbre normalisée de CL ) ;u L "u \ \ V r(X^) le nombre de composantes irréductibles du germe X .m(X ) sa multiplicité et, si X" désigne la projection plane générique de X , £(X ) = (S(X^) -6(X ).Enfin, suivant B. TEISSIER [Jy] , nous introduisons aussi :(2'") résolution simultanée faible( 3'") résolution simultanée forte.On a le diagramme suivant d'implications :(1) trivialité topologique(2"* ) résolution simultanée À (2) ^constant <=> (2" ) <S(X ) et r(X ) constants .c-.-'^i/s U -. .U faible u au voisinage de 0 (3'" ) résolution simultanée <| (3) conditions de & (3')dimC.(X)=2<£(3" ) p(X ) et forte Whitney ^ŷy" U au voisinage de 0 (4) équisaturation À (4') dimC4(X)=2 À (4") p(X ) et A(X ) et dimCr(X)=3 sont constants au voisinage de 0 a. b et c : R.O.BUCHWEISS et G.M. GREUEL d : THCM MATh'ER (et a) e et i : J. STUTZ g : B. TEISSIER f, h , j : démontrés ici.X est la réunion d'un nombre fini de 2-plans (proposition IV.1) ; la projection plane TT,, parallèlement à un N-2 plan H de la courbe X est non générique si et seulement si H contient l'un non nul de ces vecteurs, ce qui équivaut au fait que : ^H^o)) -(S(X^) > ^)ou éventuellement ^(X ) non réduit.