Portal de Periódicos da CAPES

Recherches sur les points de Weierstrass d'une courbe plane algébrique

1896; Société Mathématique de France; Volume: 13; Linguagem: Francês

10.24033/asens.426

1873-2151

M. Haure,

Advanced Numerical Analysis Techniques

On sait à quelle propriété des courbes planes algébriques M. Weierstrass a rattaché la notion de leur-genre.Soit P un point d'une pareille courbe; si l'on considère l'ensemble des fonctions rationnelles de x et de y attachées à la courbe qui sont infinies en ce seul point, leurs ordres, rangés en suite croissante, reproduisent la série des nombres naturels, à un certain nombre de lacunes près.Le nombre de ces lacunes est indépendant du point P et est égal, au genre p de la courbe.Nomnrons les nombres, dont l'absence constitue les lacunes, les ordres manquants.Si le point P est quelconque, ces ordres seront les nombres î, v 3, ..., p; mais, en certains points particuliers A, ils pourront être différents.J'appellerai ces points A des points de Weierstrass.C'est à l'étude de ces points qu'est consacré le présent travail* Ils ont {î6 M. IÏAURE.déjà été l'objet de quelques recherches de la part de MM.Schottky ( 1 ), Noether ( 2 ) et Hurwitz ( ;i ), sans compter ce que M. Weierstrass a pu en dire dans ses Leçons non encore publiées sur les fonctions abéliennes ( ;< ).Je me suis proposé, en poursuivant les recherches de ces géomètres, particulièrement celles de MM.Schottky et Hurwitz, d'arriver à la détermination des divers systèmes d'ordres manquants qui peuvent se trouver dans les." courbes d'un genre déterminé et aussi à la définition des classes de courbes possédant un point de Weierstrass correspondant à l'un de ces systèmes.A ces recherches, il était naturel de rattacher l'étude des fonctions rationnelles infinies en ce seul point, et aussi des familles de groupes spéciaux que l'on peut en faire dériver.C'est ce que j'ai fait, en me servant surtout des théorèmes de M. Noether ( >!î ), et cela m'a permis de traiter l'application qui termine ce travail.Des cinq Chapitres qui le composent, le premier est consacré à l'exposition des théorèmes de M. Noelher; le second, à la définition précise des points de Weierstrass et des familles de groupes qui en dérivent, ainsi, qu'à la démonstration d'un important théorème de M. Weierstrass (°), relatif à l'existence d'un système d'intégrales de première espèce, infiniment petites en A, dont les ordres infinitésimaux sont précisément les ordres manquants.Dans le troisième Chapitre, je développe au début, conformément à des indications données par M^.Hurwitz ( 7 ), une méthode pour former des.tableaux d'ordres manquants; j'établis ensuite, d'après M. Schottky ( 8 ), la relation qui existe entre deux fonctions convenablement choisies, parmi toutes celles qui sont infinies en A» Je pour-(1)/.C.,fc.83.(2) ./. C., t. 97.